Esercizi – corpi rigidi: problemi con integrali e derivate

Esercizi di approfondimento sulla lezione L303, che usano gli integrali, le derivate e il prodotto vettoriale in componenti. Per gli integrali vedi le lezioni sull’integrale indefinito e definito (M514, M515). Si usa \(g = 9{,}8\ \text{m/s}^2\).

Calcolo di momenti d’inerzia

1Un cilindro cavo ha raggio interno \(R_1\) e raggio esterno \(R_2\); la massa è \(m\) e l’altezza è \(\ell\). Calcola il momento d’inerzia rispetto all’asse.

\(\rho = \dfrac{m}{\pi\left(R_2^2 - R_1^2\right)\ell}\)

\(I = \int_0^{\ell}dz\int_0^{2\pi}d\varphi\int_{R_1}^{R_2}r\,dr\;\rho\,r^2 = \rho\,2\pi\ell\left[\dfrac{r^4}{4}\right]_{R_1}^{R_2}\)

\(I = 2\pi\ell\rho\,\dfrac{R_2^4 - R_1^4}{4}\)

\({}= 2\pi\ell\,\dfrac{m}{\pi\left(R_2^2 - R_1^2\right)\ell}\,\dfrac{\left(R_1^2 + R_2^2\right)\left(R_2^2 - R_1^2\right)}{4}\)

\(I = \tfrac12\,m\left(R_1^2 + R_2^2\right)\)

Osservazione. Per \(R_1 = 0\) si ritrova il cilindro pieno, \(\tfrac12mR^2\); per \(R_1 \to R_2\) il cilindro cavo sottile, \(mR^2\).

2Calcola il momento d’inerzia di un disco omogeneo di massa \(m\) e raggio \(R\) rispetto a un suo diametro.

\(\rho = \dfrac{m}{\pi R^2}\) densità superficiale

Ruotiamo attorno al diametro \(y\). Un elemento in coordinate polari \((r, \theta)\), con \(\theta\) misurato dall’asse \(x\), dista dall’asse \(y\) \(r\cos\theta\):

\(I = \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^R r\,dr\;\rho\,r^2\cos^2\theta\)

\({}= \rho\,\dfrac{R^4}{4}\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta = \dfrac{m}{\pi R^2}\,\pi\,\dfrac{R^4}{4}\)

\(I = \tfrac14\,mR^2\)

Osservazione. Si è usato \(\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta = \pi\), che si ottiene da \(\cos^2\theta = \frac{1 + \cos2\theta}{2}\). Nella soluzione a mano si ruota attorno all’altro diametro e compare \(\sin^2\theta\): il risultato è lo stesso. Il risultato serve nell’esercizio dei due dischi tangenti all’asse (pagina L303E3).

Impulso angolare e teorema di König

3Dimostra che l’integrale nel tempo del momento risultante è uguale alla variazione del momento angolare (impulso angolare) e che, se una forza agisce in un punto fisso per un tempo brevissimo, l’impulso angolare è il momento dell’impulso della forza.

\(\vec\tau = \dfrac{d\vec L}{dt} \;\Rightarrow\; \int_{t_1}^{t_2}\vec\tau\,dt = \vec L(t_2) - \vec L(t_1) = \Delta\vec L\)

L’integrale del momento nel tempo si chiama impulso angolare (o impulso del momento). Se il punto di applicazione \(\vec r\) della forza non cambia durante l’azione della forza:

\(\int\vec\tau\,dt = \int\vec r \wedge \vec F\,dt\)

\({}= \vec r \wedge \int\vec F\,dt = \vec r \wedge \vec J = \Delta\vec L\)

\(\vec r \wedge \vec J\) è il momento dell’impulso della forza.

Osservazione. Se il momento è costante l’integrale si riduce a \(\vec\tau\,\Delta t\); in generale si può scrivere \(\vec\tau_m\Delta t\), con \(\vec\tau_m\) momento medio (pagina L303E6).

4Dimostra il primo teorema di König per il momento angolare: il momento angolare di un sistema di punti materiali, in un sistema di riferimento inerziale, è la somma del momento angolare del centro di massa (un punto di massa uguale alla massa totale \(M\), che si muove con il centro di massa) e del momento angolare del sistema rispetto al centro di massa.

Scriviamo la posizione e la velocità di ogni punto come somma di quelle del centro di massa e di quelle relative al centro di massa: \(\vec r_i = \vec r_i\,' + \vec r_{CM}\), \(\vec v_i = \vec v_i\,' + \vec v_{CM}\).

\(\vec L = \sum_{i=1}^n \vec r_i \wedge m_i\vec v_i\)

\({}= \sum_{i=1}^n \left(\vec r_i\,' + \vec r_{CM}\right) \wedge m_i\left(\vec v_i\,' + \vec v_{CM}\right)\)

\(\vec L = \sum\vec r_i\,' \wedge m_i\vec v_i\,' + \sum m_i\vec r_i\,' \wedge \vec v_{CM}\)

\(\qquad + \vec r_{CM} \wedge \sum m_i\vec v_i\,' + \sum\vec r_{CM} \wedge m_i\vec v_{CM}\)

\(\vec L\,' = \sum\vec r_i\,' \wedge m_i\vec v_i\,'\) momento angolare rispetto al centro di massa

\(\sum m_i\vec r_i\,' = \vec 0\)

\(\sum m_i\vec v_i\,' = \vec 0\) il centro di massa nel proprio riferimento è fermo nell’origine

\(\vec L = \vec L\,' + \vec r_{CM} \wedge M\vec v_{CM} = \vec L\,' + \vec L_{CM}\)

Osservazione. Per un corpo rigido che rotola, \(\vec L\,'\) è il momento angolare di rotazione \(I_{CM}\vec\omega\) e \(\vec L_{CM}\) quello dovuto alla traslazione: è la scomposizione usata negli esercizi dell’anello agganciato al piolo e della sfera colpita da un impulso.

Derivate di vettori

5Si abbia un punto materiale di massa \(m\) appeso in O tramite un filo inestensibile di massa trascurabile lungo \(L\) (pendolo conico), che descrive con velocità angolare costante \(\omega\) una circonferenza orizzontale di raggio \(r\), a distanza \(h\) sotto O. Prendendo come polo il centro di sospensione, dimostra che la derivata del momento angolare rispetto al tempo è uguale al momento della forza peso.

\(r = L\sin\theta\)

\(h = L\cos\theta\)

\(\vec R = (r\cos\omega t)\,\hat\imath + (r\sin\omega t)\,\hat\jmath - h\,\hat k\) posizione del punto rispetto a O

\(\vec v = (-\omega r\sin\omega t)\,\hat\imath + (\omega r\cos\omega t)\,\hat\jmath\)

\(\vec\ell = \vec R \wedge m\vec v\)

\({}= (mh\omega r\cos\omega t)\,\hat\imath\)

\(\qquad + (mh\omega r\sin\omega t)\,\hat\jmath + m\omega r^2\,\hat k\)

\(\dfrac{d\vec\ell}{dt} = (-mh\omega^2r\sin\omega t)\,\hat\imath + (mh\omega^2r\cos\omega t)\,\hat\jmath\)

La tensione del filo passa per O e ha momento nullo; resta il peso \(\vec F_p = -mg\,\hat k\):

\(\vec\tau = \vec R \wedge \vec F_p\)

\({}= (-mgr\sin\omega t)\,\hat\imath + (mgr\cos\omega t)\,\hat\jmath\)

\(\vec\tau = \dfrac{d\vec\ell}{dt} \;\)

\(\iff\; mgr = mh\omega^2r \;\iff\; \omega^2 = \dfrac gh\)

Verifica con la seconda legge di Newton:

\(T\sin\theta = m\,\dfrac{v^2}{r}\)

\(T\cos\theta = mg \;\Rightarrow\; \operatorname{tg}\theta = \dfrac{\omega^2r}{g}\)

\(\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} = \dfrac{\omega^2L\sin\theta}{g} \;\Rightarrow\; \omega^2 = \dfrac{g}{L\cos\theta} = \dfrac gh\)

La relazione \(\vec\tau = \frac{d\vec\ell}{dt}\) vale proprio con la velocità angolare \(\omega = \sqrt{g/h}\) del pendolo conico.

Osservazione. La componente verticale del momento angolare, \(m\omega r^2\), è costante; la componente orizzontale ha modulo costante \(mh\omega r\) ma ruota con il punto, e la sua variazione è prodotta dal momento del peso. Nella soluzione a mano la posizione del punto è indicata con \(\vec L\): qui si usa \(\vec R\) per non confonderla con la lunghezza del filo.

6Dato un punto P di una ruota di raggio \(R\) che rotola senza strisciare con velocità angolare \(\omega\), individuato rispetto al centro dalle coordinate \(r\) e \(\theta\) come in figura, scrivi le espressioni delle componenti cartesiane della velocità di P e verifica che il risultato corrisponde a una rotazione di P rispetto al punto di contatto C.

Il centro avanza di \(R\omega t\); la ruota gira in verso orario, quindi \(\theta = -\omega t\) (con P sulla retta orizzontale del centro per \(t = 0\)).

\(\begin{cases} x = R\omega t + r\cos\theta \\ y = R + r\sin\theta \end{cases} \;\Rightarrow\; \begin{cases} x = R\omega t + r\cos\omega t \\ y = R - r\sin\omega t \end{cases}\)

\(\begin{cases} v_x = \dfrac{dx}{dt} = R\omega - r\omega\sin\omega t \\ v_y = \dfrac{dy}{dt} = -r\omega\cos\omega t \end{cases}\)

\(v_x^2 + v_y^2\)

\({}= R^2\omega^2 - 2Rr\omega^2\sin\omega t\)

\(\qquad + r^2\omega^2\sin^2\omega t + r^2\omega^2\cos^2\omega t\)

\(v^2 = \omega^2\left(R^2 - 2Rr\sin\omega t + r^2\right) = \omega^2R'^2\)

Infatti C ha coordinate \((R\omega t;\ 0)\) e \(\overrightarrow{CP} = (r\cos\omega t;\ R - r\sin\omega t)\), quindi \(R'^2 = \overline{CP}^{\,2} = R^2 - 2Rr\sin\omega t + r^2\). Inoltre

\(\vec v \cdot \overrightarrow{CP}\)

\({}= (R\omega - r\omega\sin\omega t)\,r\cos\omega t\)

\(\qquad - r\omega\cos\omega t\,(R - r\sin\omega t) = 0\)

La velocità di P è perpendicolare a CP e vale \(\omega\,\overline{CP}\): in ogni istante P ruota attorno al punto di contatto C con la velocità angolare \(\omega\) della ruota.

Osservazione. Il punto di contatto è il centro istantaneo di rotazione. Nella soluzione a mano è verificato il modulo della velocità; qui è stata aggiunta la verifica che \(\vec v\) è perpendicolare a CP.

Lavoro di un momento variabile

7Un’asta rigida di massa \(m_1\) e lunghezza \(d = 0{,}8\ \text{m}\) è incernierata nell’estremo A ed è appesa nell’estremo B a un filo collegato, tramite una carrucola, alla massa \(m_2 = 10\ \text{kg}\); il sistema è in equilibrio con l’asta orizzontale.

Calcola il valore della reazione vincolare in A.
Si interrompe il collegamento in B e l’asta ruota sotto l’azione della forza di gravità; nel vincolo A agisce un momento che si oppone alla rotazione, \(\vec\tau = K\theta\,\hat u_z\), con \(K = 50\ \text{N\,m/rad}\) e \(\theta\) angolo che l’asta forma con l’asse \(x\). Calcola la velocità angolare dell’asta quando \(\theta = \frac\pi2\).

\(d = 0{,}8\ \text{m}\)

\(m_2 = 10\ \text{kg}\)

\(K = 50\ \text{N\,m/rad}\)

\(\begin{cases} m_2g - T_1 = 0 \\ T_2 - m_1g + R_A = 0 \\ m_1g\,\dfrac d2 - T_2\,d = 0 \end{cases}\)

\(T_1 = T_2\)

\(T_2 = \tfrac12m_1g\)

\(T_1 = m_2g \;\Rightarrow\; m_1 = 2m_2 = 20\ \text{kg}\)

\(R_A = m_1g - T_2 = \tfrac12m_1g = m_2g = 98\ \text{N}\)

b) primo metodo: lavoro del momento resistente

\(W_{nc} = \int_0^{\pi/2}-K\theta\,d\theta\)

\({}= -K\left[\dfrac{\theta^2}{2}\right]_0^{\pi/2} = -\dfrac{K\pi^2}{8}\)

\(W_{nc} = \Delta K + \Delta U = \tfrac12 \cdot \tfrac13m_1d^2\omega^2 - m_1g\,\dfrac d2\)

\(\omega^2 = \dfrac{m_1g\,\frac d2 - \frac{K\pi^2}{8}}{\frac16m_1d^2} = \dfrac{78{,}4 - 61{,}7}{2{,}13}\ \text{rad}^2\text{/s}^2\)

\(\;\Rightarrow\; \omega = 2{,}80\ \text{rad/s}\)

b) secondo metodo: \(\alpha\,d\theta = \omega\,d\omega\)

\(\tau = m_1g\,\dfrac d2\cos\theta - K\theta\)

\(\alpha = \dfrac\tau I = \dfrac{3m_1g\frac d2\cos\theta - 3K\theta}{m_1d^2}\)

\(\alpha = \dfrac{d\omega}{dt} = \dfrac{d\omega}{d\theta}\,\dfrac{d\theta}{dt} = \omega\,\dfrac{d\omega}{d\theta} \;\Rightarrow\; \alpha\,d\theta = \omega\,d\omega\)

\(\tfrac12\omega^2 = \int_0^{\pi/2}\alpha\,d\theta\)

\({}= \dfrac{1}{\frac13m_1d^2}\left[m_1g\,\dfrac d2\sin\theta - \tfrac12K\theta^2\right]_0^{\pi/2}\)

\(\tfrac12\omega^2 = \dfrac{m_1g\frac d2 - \frac12K\left(\frac\pi2\right)^2}{\frac13m_1d^2}\)

\(\;\Rightarrow\; \omega = \sqrt{\dfrac{m_1g\frac d2 - \frac18K\pi^2}{\frac16m_1d^2}}\)

\(R_A = 98\ \text{N}\)

\(\omega = 2{,}80\ \text{rad/s}\)

Osservazione. Il lavoro del momento \(K\theta\) è l’area sotto il grafico del momento in funzione dell’angolo, un triangolo: è lo stesso calcolo del lavoro della forza elastica di una molla, \(\tfrac12kx^2\).

8Un disco di raggio \(r\) e massa \(m\) scende srotolando un filo verticale fissato al soffitto (yo-yo). Ricava l’accelerazione del centro di massa derivando rispetto al tempo l’energia meccanica.

\(\tfrac12mv_{CM}^2 + \tfrac12I_C\omega^2 + mg\,y_{CM} = \text{costante}\) la tensione agisce in un punto fermo e non compie lavoro

\(\tfrac12mv_{CM}^2 + \tfrac12 \cdot \tfrac12mr^2\,\dfrac{v_{CM}^2}{r^2} + mg\,y_{CM}\)

\({}= \tfrac34\,mv_{CM}^2 + mg\,y_{CM} = \text{costante}\)

Il disco scende, quindi \(\frac{dy_{CM}}{dt} = -v_{CM}\); derivando rispetto al tempo:

\(\tfrac32\,mv_{CM}\,a_{CM} - mg\,v_{CM} = 0\)

\(a_{CM} = \tfrac23\,g\)

Osservazione. Si è usata la regola di derivazione delle funzioni composte: \(\frac{d}{dt}v^2 = 2v\,\frac{dv}{dt} = 2va\). Il risultato coincide con quello ottenuto con le equazioni della dinamica (pagina L303E4).