Esercizi – impulso angolare
Esercizi sulla lezione L303. Dalla seconda legge per le rotazioni \(\vec\tau = \dfrac{\Delta\vec L}{\Delta t}\) segue che un momento agente per un intervallo di tempo \(\Delta t\) produce una variazione del momento angolare \(\Delta\vec L = \vec\tau_m\,\Delta t\), dove \(\vec\tau_m\) è il momento medio.
\(m = 2{,}4\ \text{kg}\)
\(d = 0{,}4\ \text{m}\)
\(\Delta t = 0{,}2\ \text{s}\)
\(T = 10\ \text{s}\)
\(I = \tfrac13md^2\)
\(\omega = \dfrac{2\pi}{T}\)
\(\tau_m\,\Delta t = \Delta L = I\omega\)
\({}= \tfrac13md^2\,\dfrac{2\pi}{T} = 0{,}0804\ \text{kg\,m}^2\text{/s}\)
\(\tau_m = \dfrac{0{,}0804}{0{,}2}\ \text{N\,m} = 0{,}402\ \text{N\,m}\)
L’impulso della forza è uguale alla variazione della quantità di moto dell’asta, il cui centro di massa si muove a velocità \(\omega\frac d2\):
\(J = \Delta q = m\,\omega\,\dfrac d2\)
\({}= m\,\dfrac{2\pi}{T}\,\dfrac d2 = 0{,}301\ \text{kg\,m/s}\)
\(F_m = \dfrac{J}{\Delta t} = 1{,}51\ \text{N}\)
\(\tau_m\Delta t = 0{,}0804\ \text{kg\,m}^2\text{/s}\)
\(\tau_m = 0{,}402\ \text{N\,m}\)
\(J = 0{,}301\ \text{N\,s}\)
Osservazione. Le forze che mettono in moto il centro di massa sono fornite dai supporti dell’asse: durante il tempo \(\Delta t\) essi esercitano reazioni impulsive (in media 1,51 N); in seguito devono fornire la forza centripeta \(m\omega^2\frac d2\) che mantiene il centro di massa sulla sua circonferenza.
\(rJ = I\omega = \tfrac13m\ell^2\omega \;\Rightarrow\; \omega = \dfrac{3rJ}{m\ell^2}\) momento dell’impulso rispetto a O
Dopo il colpo si conserva l’energia: il centro di massa sale di \(\frac{\ell}{2}\).
\(\tfrac12I\omega^2 = mg\,\dfrac{\ell}{2} \;\Rightarrow\; \tfrac12 \cdot \tfrac13m\ell^2\,\dfrac{9r^2J^2}{m^2\ell^4} = mg\,\dfrac{\ell}{2}\)
\(J^2 = \dfrac{m^2\ell^2}{3r^2}\,g\ell\)
\(J = \dfrac mr\sqrt{\dfrac{g\ell^3}{3}}\)
Osservazione. L’impulso necessario è tanto minore quanto più lontano da O si colpisce l’asta: il minimo si ha per \(r = \ell\).
- la velocità angolare di regime del sistema;
- il momento che devono sviluppare i supporti dell’asse.
\(m_1 = 2\ \text{kg}\)
\(R = 0{,}15\ \text{m}\)
\(d = 0{,}12\ \text{m}\)
\(m_2 = 0{,}3\ \text{kg}\)
\(\tau = 0{,}23\ \text{N\,m}\)
\(t_0 = 1{,}2\ \text{s}\)
a) il corpo è legato all’asse e ruota insieme al disco
\(I = \tfrac12m_1R^2 + m_2d^2 = 0{,}02682\ \text{kg\,m}^2\)
\(\tau\,t_0 = I\omega\)
\(\;\Rightarrow\; \omega = \dfrac{\tau\,t_0}{I}\)
\({}= \dfrac{0{,}276}{0{,}02682}\ \text{rad/s} = 10{,}29\ \text{rad/s}\)
b)
Il peso del corpo, appoggiato sul disco a distanza \(d\) dall’asse, ha un momento rispetto al centro del disco diretto orizzontalmente, che tende a inclinare l’asse: i supporti devono equilibrarlo.
\(\tau_{supp} = m_2gd\)
\({}= 0{,}3 \cdot 9{,}8 \cdot 0{,}12\ \text{N\,m} = 0{,}35\ \text{N\,m}\)
\(\omega = 10{,}3\ \text{rad/s}\)
\(\tau_{supp} = 0{,}35\ \text{N\,m}\)
Osservazione. Il coefficiente di attrito \(\mu\) non entra nei calcoli: l’asticella costringe il corpo a ruotare con il disco, quindi non c’è moto relativo.
- Calcola con quale velocità angolare iniziale deve essere fatta ruotare verso l’alto fino a disporsi orizzontalmente.
- Se a questo scopo viene applicata una forza orizzontale in corrispondenza del punto centrale del lato inferiore per una durata di \(1{,}0 \cdot 10^{-2}\ \text{s}\), quale intensità deve avere?
\(m = 0{,}300\ \text{kg}\)
\(\ell = 0{,}40\ \text{m}\)
\(\Delta t = 1{,}0 \cdot 10^{-2}\ \text{s}\)
Rispetto al lato superiore la lamina ha lo stesso momento d’inerzia di un’asta lunga \(\ell\) che ruota attorno a un estremo: \(I = \frac13m\ell^2\).
a)
\(\tfrac12I\omega^2 = mg\,\dfrac{\ell}{2} \;\Rightarrow\; \tfrac12 \cdot \tfrac13m\ell^2\omega^2 = mg\,\dfrac{\ell}{2}\)
\(\omega = \sqrt{\dfrac{3g}{\ell}} = 8{,}6\ \text{rad/s}\)
b)
\(\tau\,\Delta t = \Delta L \;\Rightarrow\; \ell F\,\Delta t = \tfrac13m\ell^2\omega\)
\(F = \dfrac{m\ell\omega}{3\,\Delta t} = \dfrac{0{,}300 \cdot 0{,}40 \cdot 8{,}57}{3 \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-2}}\ \text{N}\)
\(\omega = 8{,}6\ \text{rad/s}\)
\(F = 34\ \text{N}\)
- Determina il moto della sfera.
- Se l’impulso \(\vec J\) è applicato ad un’altezza \(h\) dal piano, qual è il valore di \(h\) per cui la sfera inizia a muoversi con moto di puro rotolamento?
a) subito dopo il colpo
\(J = mv_{CM} \;\Rightarrow\; v_{CM} = \dfrac Jm\)
L’impulso passa per il centro: il suo momento rispetto al centro è nullo e la sfera non ruota (\(\omega = 0\)). Inizia a strisciare e l’attrito dinamico la rallenta:
\(ma_{CM} = -\mu_dmg \;\Rightarrow\; v_{CM}(t) = \dfrac Jm - \mu_dgt\)
Il momento dell’attrito rispetto al centro la mette in rotazione:
\(\mu_dmgr = \tfrac25mr^2\alpha \;\Rightarrow\; \alpha = \tfrac52\,\mu_d\,\dfrac gr\)
\(\omega(t) = \tfrac52\,\dfrac{\mu_dgt}{r}\)
Lo strisciamento termina quando \(v_{CM} = \omega r\):
\(\dfrac Jm - \mu_dgt^* = \tfrac52\,\mu_dgt^* \;\Rightarrow\; t^* = \dfrac27\,\dfrac{J}{\mu_dmg}\)
\(v_{CM}(t^*) = \dfrac Jm - \dfrac27\,\dfrac Jm = \dfrac57\,\dfrac Jm = \dfrac57\,v_{CM}(0)\)
Per \(t > t^*\) il moto della sfera è uniforme e di puro rotolamento.
b)
\(J = mv_{CM}\)
\((h - r)\,J = \tfrac25mr^2\omega\) momento dell’impulso rispetto al centro
\(v_{CM} = \omega r \;\Rightarrow\; \dfrac Jm\,(h - r) = \tfrac25r^2\,\dfrac{J}{mr}\)
\(\;\Rightarrow\; h - r = \tfrac25r\)
\(t^* = \dfrac{2J}{7\mu_dmg}\)
\(v_{fin} = \dfrac57\,\dfrac Jm\)
\(h = \dfrac75\,r\)
Osservazione. La velocità finale si trova anche senza studiare il moto. Rispetto a un punto O del piano l’attrito ha momento nullo, perché agisce lungo il piano; il peso e la reazione normale hanno momenti opposti. Quindi il momento angolare rispetto a O si conserva: \(Jr = I\omega + mrv_{CM} = \tfrac25mrv_{CM} + mrv_{CM}\) (con \(v_{CM} = \omega r\)), da cui \(v_{CM} = \frac{5J}{7m}\).
Osservazione. La quota \(h = \frac75r\) è quella della stecca da biliardo che fa partire la palla rotolando subito, senza strisciare.