Esercizi – conservazione del momento angolare

Esercizi sulla lezione L303. Se il momento delle forze esterne rispetto all’asse di rotazione è nullo, il momento angolare del sistema si conserva: \(I_1\omega_1 = I_2\omega_2\). Per un punto materiale di massa \(m\) che si muove con velocità \(v\) a distanza \(b\) dall’asse (\(b\) è il braccio, la distanza dell’asse dalla retta della velocità) il momento angolare vale \(L = m\,v\,b\). Le forze interne (attriti fra le parti, spinte) possono cambiare l’energia cinetica, ma non il momento angolare.

1Un corpo rigido è formato da un’asta sottile di massa trascurabile, da una sfera piena di raggio \(R = 14\ \text{cm}\) e massa \(m = 16\ \text{kg}\), da un guscio sferico di uguale raggio \(R\) e massa \(\frac m4\). Il sistema è disposto come in figura (l’asta attraversa le sfere lungo il diametro) e può ruotare senza attrito attorno all’asse verticale indicato, passante per il punto di contatto tra le sfere.

Calcola il lavoro necessario per portare il sistema, inizialmente in quiete, alla velocità angolare \(\omega_1 = 15\ \text{rad/s}\). Raggiunta \(\omega_1\) si stacca il motore e il sistema continua a ruotare con velocità angolare \(\omega_1\). Ad un certo istante, agendo all’interno del sistema, si lascia slittare senza attrito il guscio di una distanza pari a \(2R\).
Calcola il lavoro che viene fornito dal sistema.

\(R = 0{,}14\ \text{m}\)

\(m = 16\ \text{kg}\)

\(\omega_1 = 15\ \text{rad/s}\)

a) momenti d’inerzia con il teorema di Steiner

\(I_1 = \tfrac25mR^2 + mR^2 + \tfrac23\,\dfrac m4\,R^2 + \dfrac m4\,R^2\)

\({}= mR^2\left(\tfrac25 + 1 + \tfrac16 + \tfrac14\right) = \tfrac{109}{60}\,mR^2\)

\(W = \tfrac12I_1\omega_1^2 = \tfrac{109}{120}\,mR^2\omega_1^2 = 64{,}1\ \text{J}\)

b) il centro del guscio si porta a distanza \(3R\) dall’asse

\(I_2 = \tfrac75mR^2 + \tfrac16mR^2 + \dfrac m4\,(3R)^2\)

\({}= mR^2\,\dfrac{84 + 10 + 135}{60} = \tfrac{229}{60}\,mR^2\)

\(I_1\omega_1 = I_2\omega_2 \;\Rightarrow\; \omega_2 = \tfrac{109}{229}\,\omega_1\)

\(\Delta K = \tfrac12I_2\omega_2^2 - \tfrac12I_1\omega_1^2\)

\({}= \tfrac{109}{120}\,mR^2\omega_1^2\left(\tfrac{109}{229} - 1\right) = -\tfrac{120}{229} \cdot 64{,}1\ \text{J}\)

\(W_{sistema} = -\Delta K = 33{,}6\ \text{J}\)

\(W = 64{,}1\ \text{J}\)

\(W_{sistema} = 33{,}6\ \text{J}\)

Osservazione. Il momento angolare si conserva perché le forze che spostano il guscio sono interne. L’energia cinetica invece diminuisce: il guscio, allontanandosi dall’asse, compie lavoro sul dispositivo che lo frena e lo ferma a distanza \(3R\).

2Un sistema di due corpi rigidi è costituito da una piattaforma circolare (\(M = 40\ \text{kg}\), \(R = 2\ \text{m}\)) che può ruotare senza attrito attorno ad un asse verticale, passante per il suo centro e fissato al suolo, e da un disco (\(m = 8\ \text{kg}\), \(r = 0{,}6\ \text{m}\)) che può ruotare senza attrito attorno ad un asse verticale passante per il suo centro e fissato alla piattaforma, a distanza \(d = 1{,}2\ \text{m}\) dal centro di questa. Le direzioni degli assi di rotazione sono fisse. Si consideri in primo luogo il seguente stato iniziale: la piattaforma è ferma, il disco ruota con velocità angolare \(\omega = 14\ \text{rad/s}\). Tra la piattaforma e il disco agisce una forza di attrito radente per cui dopo un certo tempo il disco non ruota più rispetto alla piattaforma. Calcola:

il valore finale del momento angolare del sistema;
la variazione di energia cinetica del sistema.
Si consideri successivamente un diverso stato iniziale, in cui sia la piattaforma che il disco sono fermi, e si assuma che tra disco e piattaforma non ci sia ora nessun attrito. Con un motore si porta la velocità angolare della piattaforma al valore \(\Omega = 6\ \text{rad/s}\). Calcola il lavoro fornito dal motore.

\(M = 40\ \text{kg}\)

\(R = 2\ \text{m}\)

\(m = 8\ \text{kg}\)

\(r = 0{,}6\ \text{m}\)

\(d = 1{,}2\ \text{m}\)

\(\omega = 14\ \text{rad/s}\)

\(\Omega = 6\ \text{rad/s}\)

a) l’attrito fra disco e piattaforma è una forza interna

\(L_f = L_i = \tfrac12mr^2\omega = 20{,}16\ \text{kg\,m}^2\text{/s}\)

\(K_i = \tfrac12\left(\tfrac12mr^2\right)\omega^2 = 141{,}12\ \text{J}\)

\(I_f = \tfrac12MR^2 + \tfrac12mr^2 + md^2 = 92{,}96\ \text{kg\,m}^2\) alla fine ruotano insieme

\(\omega_f = \dfrac{L_i}{I_f} = 0{,}2169\ \text{rad/s}\)

\(K_f = \dfrac{L_i^2}{2I_f} = 2{,}186\ \text{J}\)

\(\Delta K = K_f - K_i = -138{,}9\ \text{J}\)

c) senza attrito il disco non ruota: trasla soltanto

\(K_f = \tfrac12\left(\tfrac12MR^2\right)\Omega^2 + \tfrac12m(d\Omega)^2\)

\({}= \left(\tfrac14MR^2 + \tfrac12md^2\right)\Omega^2\)

\(W_{motore} = K_f - K_i = K_f = 1647\ \text{J}\)

\(L_f = 20{,}2\ \text{kg\,m}^2\text{/s}\)

\(\Delta K = -139\ \text{J}\)

\(W_{motore} = 1{,}65 \cdot 10^3\ \text{J}\)

Osservazione. Nel punto a) il momento angolare iniziale è solo quello di rotazione del disco attorno al suo centro, che è fermo: un corpo che ruota con il centro di massa fermo ha lo stesso momento angolare rispetto a qualunque punto, quindi anche rispetto all’asse della piattaforma.

Osservazione. Nel punto c), senza attrito, nessuna forza ha momento rispetto al centro del disco: il disco conserva il suo momento angolare iniziale (nullo) e quindi non ruota, ma il suo centro si muove su una circonferenza di raggio \(d\) con velocità \(d\,\Omega\).

3Un bambino di 46 kg è seduto in prossimità del bordo di una piccola piattaforma circolare girevole di massa 100 kg e di raggio 2,0 m, quando riceve uno zaino di 5,2 kg lanciato dai suoi amici tangenzialmente alla piattaforma, che può ruotare senza attrito, alla velocità di 2,4 m/s. (n. 56)

Calcola la velocità angolare con cui inizia a muoversi la piattaforma e l’energia cinetica del sistema.

\(m = 46\ \text{kg}\)

\(M = 100\ \text{kg}\)

\(r = 2{,}0\ \text{m}\)

\(m_z = 5{,}2\ \text{kg}\)

\(v = 2{,}4\ \text{m/s}\)

\(L_i = L_f \;\Rightarrow\; rm_zv = I\omega + r(m + m_z)\,\omega r\)

\(rm_zv = r^2\omega\left[\tfrac12M + m + m_z\right]\)

\(\omega = \dfrac{m_zv}{\left(\frac12M + m + m_z\right)r}\)

\({}= \dfrac{5{,}2 \cdot 2{,}4}{101{,}2 \cdot 2{,}0}\ \text{rad/s} = 0{,}0617\ \text{rad/s}\)

\(K = \tfrac12I\omega^2 + \tfrac12(m + m_z)\,\omega^2r^2\)

\({}= \tfrac12\,r^2\omega^2\left[\tfrac12M + m + m_z\right] = 0{,}77\ \text{J}\)

\(\omega = 0{,}062\ \text{rad/s}\)

\(K = 0{,}77\ \text{J}\)

Osservazione. Il libro e la soluzione a mano riportano 0,78 J, ottenuto usando il valore arrotondato \(\omega = 0{,}062\ \text{rad/s}\); con il valore non arrotondato si ha 0,77 J.

4Un ragazzo di massa 52,0 kg, dopo una breve rincorsa, salta con una velocità di 3,00 m/s su una piattaforma circolare girevole di raggio 2,00 m e massa 60,0 kg, che è in rotazione con velocità angolare costante di 1,50 rad/s. Quando atterra sulla piattaforma, questa si arresta immediatamente. (n. 59)

Calcola a quale distanza dal centro della piattaforma si trova il ragazzo nell’istante dell’atterraggio e quanta energia è stata complessivamente dissipata.

\(m_r = 52{,}0\ \text{kg}\)

\(v_r = 3{,}00\ \text{m/s}\)

\(r = 2{,}00\ \text{m}\)

\(m_p = 60{,}0\ \text{kg}\)

\(\omega = 1{,}50\ \text{rad/s}\)

\(\omega_f = 0\)

Il ragazzo salta in verso opposto alla rotazione, con velocità perpendicolare al raggio: il suo momento angolare iniziale è \(x\,m_rv_r\), con \(x\) distanza dal centro.

\(L_i = L_f \;\Rightarrow\; I\omega - x\,m_rv_r = 0\)

\(\tfrac12m_pr^2\omega = x\,m_rv_r\)

\(\;\Rightarrow\; x = \dfrac{m_pr^2\omega}{2m_rv_r} = 1{,}15\ \text{m}\)

\(E_d = \tfrac12I\omega^2 + \tfrac12m_rv_r^2\)

\({}= \tfrac12 \cdot \tfrac12m_pr^2\omega^2 + \tfrac12m_rv_r^2 = (135 + 234)\ \text{J}\)

\(x = 1{,}15\ \text{m}\)

\(E_d = 369\ \text{J}\)

5Una piattaforma, di diametro pari a 2,00 m e massa di 200 kg, ruota senza attrito con una velocità angolare di 1,80 rad/s attorno al proprio asse. Su di essa, a 85,0 cm dal suo centro e vicino al bordo esterno, ci sono sei ragazze equidistanti tra loro e tutte di 50,0 kg. Se si vuole che la piattaforma ruoti con una velocità angolare pari a 2,34 rad/s, stabilisci quante ragazze devono saltare giù dalla piattaforma. Per ipotesi, i salti sono effettuati in direzione radiale, per cui non ci sono ulteriori spinte da tenere in considerazione. (n. 67)

(Suggerimento: la piattaforma è un cilindro pieno che ruota attorno all’asse del cilindro.)

\(r = 1{,}00\ \text{m}\)

\(m = 200\ \text{kg}\)

\(\omega = 1{,}80\ \text{rad/s}\)

\(b = 0{,}850\ \text{m}\)

\(n = 6\)

\(m_r = 50{,}0\ \text{kg}\)

\(\omega_f = 2{,}34\ \text{rad/s}\)

\(\tfrac12mr^2\omega + n\,m_rb^2\omega\)

\({}= \tfrac12mr^2\omega_f + (n - n_f)\,m_rb^2\omega_f\)

\(n_f\,m_rb^2\omega_f\)

\({}= \tfrac12mr^2(\omega_f - \omega) + n\,m_rb^2(\omega_f - \omega)\)

\({}= \left(\tfrac12mr^2 + n\,m_rb^2\right)(\omega_f - \omega)\)

\(n_f = \left(\dfrac{mr^2}{2m_rb^2} + n\right)\left(1 - \dfrac{\omega}{\omega_f}\right)\)

\({}= (2{,}77 + 6) \cdot 0{,}231 = 2{,}0\)

\(n_f = 2\)

Osservazione. Il libro considera nullo il momento angolare delle ragazze dopo il salto. A rigore una ragazza che salta in direzione radiale conserva la velocità tangenziale \(b\,\omega\) che aveva sulla piattaforma, e quindi porta via il proprio momento angolare: in quel caso la piattaforma non accelererebbe affatto. Il risultato del libro corrisponde a ragazze che, saltando, annullano la propria velocità tangenziale rispetto al suolo.

6Un ragazzo di 60,0 kg si trova sul bordo esterno di una piattaforma di 200 kg di raggio pari a 80,0 cm, inizialmente ferma, la quale può ruotare senza attrito attorno al proprio asse. A un certo punto, il ragazzo salta dalla piattaforma con una velocità di 4,00 m/s diretta tangenzialmente. Determina: (n. 68)

la velocità angolare della piattaforma;
la percentuale dell’energia sviluppata complessivamente dal sistema piattaforma–ragazzo che viene assorbita sotto forma di energia cinetica rotazionale dalla piattaforma.

\(m_r = 60{,}0\ \text{kg}\)

\(m = 200\ \text{kg}\)

\(r = 0{,}800\ \text{m}\)

\(\omega_0 = 0\)

\(v = 4{,}00\ \text{m/s}\)

\(L_i = L_f \;\Rightarrow\; 0 = \tfrac12mr^2\omega - rm_rv\)

\(\omega = \dfrac{2m_rv}{mr}\)

\({}= \dfrac{2 \cdot 60{,}0 \cdot 4{,}00}{200 \cdot 0{,}800}\ \text{rad/s} = 3{,}00\ \text{rad/s}\)

\(E_{rot} = \tfrac12I\omega^2 = \tfrac12 \cdot \tfrac12mr^2\,\dfrac{4m_r^2v^2}{m^2r^2} = \dfrac{m_r^2v^2}{m}\)

\(\dfrac{E_{rot}}{E_{tot}} = \dfrac{\frac{m_r^2v^2}{m}}{\frac{m_r^2v^2}{m} + \frac12m_rv^2}\)

\({}= \dfrac{m_r}{m_r + \frac12m} = \dfrac{60}{160} = 0{,}375\)

\(\omega = 3{,}00\ \text{rad/s}\)

\(\dfrac{E_{rot}}{E_{tot}} = 37{,}5\%\)

7Una ragazza salta alla velocità di 2,80 m/s sopra una piattaforma di 120 kg, avente un raggio di 1,50 m, la quale sta ruotando senza attrito attorno al proprio asse alla velocità angolare di 1,20 rad/s. La ragazza cade a 1,00 m dal centro di rotazione e la piattaforma si arresta. (n. 69)

Calcola l’energia cinetica iniziale posseduta dalla ragazza.

\(v = 2{,}80\ \text{m/s}\)

\(m = 120\ \text{kg}\)

\(r = 1{,}50\ \text{m}\)

\(\omega = 1{,}20\ \text{rad/s}\)

\(b = 1{,}00\ \text{m}\)

\(\omega_f = 0\)

\(L_i = L_f \;\Rightarrow\; \tfrac12mr^2\omega - b\,m_rv = 0\)

\(\;\Rightarrow\; m_r = \dfrac{mr^2\omega}{2bv}\)

\(E_c = \tfrac12m_rv^2 = \tfrac12\,\dfrac{mr^2\omega}{2bv}\,v^2 = \dfrac{mr^2\omega v}{4b}\)

\(E_c = \dfrac{120 \cdot 2{,}25 \cdot 1{,}20 \cdot 2{,}80}{4 \cdot 1{,}00}\ \text{J}\)

\(E_c = 227\ \text{J}\)

Osservazione. Come nell’esercizio del ragazzo che salta sulla piattaforma, si suppone che la velocità della ragazza sia perpendicolare al raggio nel punto in cui atterra, e rivolta in verso opposto alla rotazione.