Esercizi – cinematica rotazionale

Esercizi sulla lezione L303 (dinamica dei corpi rigidi). Prova a risolvere ogni esercizio da solo, poi apri la soluzione. Le relazioni fra grandezze lineari e angolari sono \(s = r\theta\), \(v = \omega r\), \(a_t = \alpha r\), \(a_c = \omega^2 r\); con \(\alpha\) costante \(\omega = \omega_0 + \alpha t\) e \(\theta = \theta_0 + \omega_0 t + \tfrac12\alpha t^2\).

Moto circolare uniformemente accelerato

1Un modellino radiocomandato di aereo percorre una traiettoria circolare di raggio 36 m alla velocità di 18 m/s, quando viene sottoposto per 6,5 s all’accelerazione tangenziale di \(1{,}3\ \text{m/s}^2\). (n. 12)

Calcola l’accelerazione angolare.
Calcola quanti giri percorre durante la fase di accelerazione.

\(r = 36\ \text{m}\)

\(v_0 = 18\ \text{m/s}\)

\(a_t = 1{,}3\ \text{m/s}^2\)

\(\Delta t = 6{,}5\ \text{s}\)

\(\alpha = \dfrac{a_t}{r} = \dfrac{1{,}3}{36}\ \text{rad/s}^2 = 3{,}6 \cdot 10^{-2}\ \text{rad/s}^2\)

\(\omega_0 = \dfrac{v_0}{r} = \dfrac{18}{36}\ \text{rad/s} = 0{,}50\ \text{rad/s}\)

\(\Delta\theta = \omega_0\Delta t + \tfrac12\alpha(\Delta t)^2\)

\({}= (3{,}25 + 0{,}76)\ \text{rad} = 4{,}01\ \text{rad}\)

\(n = \dfrac{\Delta\theta}{2\pi} = \dfrac{4{,}01}{6{,}28} = 0{,}64\)

\(\alpha = 3{,}6 \cdot 10^{-2}\ \text{rad/s}^2\)

\(n = 0{,}64\ \text{giri}\)

Osservazione. Nella scheda originale questo esercizio non era svolto: la soluzione è stata aggiunta.

2La centrifuga di una lavatrice passa da 0 a 650 giri/min in 5,0 s. (n. 13)

Calcola l’accelerazione angolare.
Quanti giri effettua il cestello prima di arrivare alla velocità finale?

\(\omega_1 = 0\)

\(\omega_2 = 650\ \text{giri/min}\)

\(\Delta t = 5{,}0\ \text{s}\)

\(\omega_2 = 650 \cdot \dfrac{2\pi\ \text{rad}}{60\ \text{s}} = 68{,}1\ \text{rad/s}\)

\(\alpha = \dfrac{\omega_2 - \omega_1}{\Delta t} = \dfrac{68{,}1}{5{,}0}\ \text{rad/s}^2 = 14\ \text{rad/s}^2\)

\(\Delta\theta = \tfrac12\alpha(\Delta t)^2 = \tfrac12\,\dfrac{\omega_2}{\Delta t}(\Delta t)^2 = \tfrac12\,\omega_2\,\Delta t\)

\(n = \dfrac{\Delta\theta}{2\pi} = \dfrac{\omega_2\,\Delta t}{4\pi} = \dfrac{68{,}1 \cdot 5{,}0}{4\pi} = 27\)

\(\alpha = 14\ \text{rad/s}^2\)

\(n = 27\ \text{giri}\)

Trasmissione del moto

3Quattro dischi ruotano insieme senza strisciare. Il disco di raggio 50 cm ha una velocità angolare pari a 18 rad/s. (n. 19)

Qual è la velocità angolare degli altri tre dischi?

\(r_1 = 50\ \text{cm}\)

\(r_2 = 40\ \text{cm}\)

\(r_3 = 30\ \text{cm}\)

\(r_4 = 15\ \text{cm}\)

\(\omega_1 = 18\ \text{rad/s}\)

Nei punti di contatto i bordi hanno la stessa velocità; due dischi a contatto ruotano in versi opposti:

\(v_1 = -v_2 = v_3 = -v_4\)

\(\;\Rightarrow\; \omega_1r_1 = -\omega_2r_2 = \omega_3r_3 = -\omega_4r_4\)

\(\omega_2 = -\dfrac{\omega_1r_1}{r_2} = -\dfrac{18 \cdot 50}{40}\ \text{rad/s} = -23\ \text{rad/s}\)

\(\omega_3 = \dfrac{\omega_1r_1}{r_3} = \dfrac{18 \cdot 50}{30}\ \text{rad/s} = 30\ \text{rad/s}\)

\(\omega_4 = -\dfrac{\omega_1r_1}{r_4} = -\dfrac{18 \cdot 50}{15}\ \text{rad/s} = -60\ \text{rad/s}\)

\(\omega_2 = -23\ \text{rad/s}\)

\(\omega_3 = 30\ \text{rad/s}\)

\(\omega_4 = -60\ \text{rad/s}\)

Osservazione. Il segno meno indica il verso di rotazione opposto a quello del primo disco.

4Una bicicletta viaggia alla velocità di 12 km/h. Le ruote hanno un diametro di 72 cm. (n. 20)

Calcola la velocità angolare delle ruote.
La ruota dentata solidale con i pedali ha 54 denti mentre la ruota dentata solidale con la ruota posteriore ha 16 denti. Calcola la frequenza di rotazione dei pedali.

\(v = 12\ \text{km/h} = 3{,}33\ \text{m/s}\)

\(d = 72\ \text{cm}\)

\(r = 0{,}36\ \text{m}\)

\(n_1 = 54\)

\(n_2 = 16\)

\(\omega = \dfrac vr = \dfrac{3{,}33}{0{,}36}\ \text{rad/s} = 9{,}3\ \text{rad/s}\)

La catena fa avanzare lo stesso numero di denti sulle due ruote dentate: un giro dei pedali corrisponde a \(\frac{54}{16}\) giri della ruota.

\(\omega_{pedali} = \dfrac{n_2}{n_1}\,\omega\)

\({}= \dfrac{16}{54} \cdot 9{,}26\ \text{rad/s} = 2{,}74\ \text{rad/s}\)

\(f = \dfrac{\omega_{pedali}}{2\pi} = \dfrac{2{,}74}{6{,}28}\ \text{giri/s} = 0{,}44\ \text{giri/s}\)

\(\omega = 9{,}3\ \text{rad/s}\)

\(f = 0{,}44\ \text{giri/s}\)

Osservazione. Nella soluzione a mano la velocità angolare dei pedali è 2,76 rad/s: il valore corretto è 2,74 rad/s, ma la frequenza (0,44 giri/s) non cambia.

Dinamica del moto circolare

5Tre masse uguali, ciascuna di 80 g, sono legate tra loro da pezzi di filo leggero in modo che la distanza tra una massa e l’altra sia 20 cm. Le tre masse ruotano su un piano senza attrito attorno a un perno, effettuando 1,0 giri/s. (n. 15)

Determina la tensione dei tre tratti di fune.

\(m = 0{,}080\ \text{kg}\)

\(d = 0{,}20\ \text{m}\)

\(\omega = 1{,}0\ \text{giri/s} = 6{,}28\ \text{rad/s}\)

Ogni massa si muove di moto circolare uniforme: la forza risultante su di essa è la forza centripeta \(m\omega^2r\). Partiamo dalla massa più esterna, tirata solo da \(T_3\).

\(T_3 = m\omega^2 \cdot 3d = 1{,}9\ \text{N}\)

\(T_2 - T_3 = m\omega^2 \cdot 2d\)

\(\;\Rightarrow\; T_2 = 5m\omega^2d = 3{,}2\ \text{N}\)

\(T_1 - T_2 = m\omega^2 d \;\Rightarrow\; T_1 = 6m\omega^2d = 3{,}8\ \text{N}\)

\(T_1 = 3{,}8\ \text{N}\)

\(T_2 = 3{,}2\ \text{N}\)

\(T_3 = 1{,}9\ \text{N}\)

6Il coefficiente d’attrito tra pneumatici e asfalto è 0,8; un’automobile affronta una curva, lunga 50 m e tale da farle cambiare direzione di 60°, alla velocità di 72 km/h. (n. 14)

Riesce a effettuare la curva?

\(\mu = 0{,}8\)

\(\ell = 50\ \text{m}\)

\(\Delta\theta = 60^\circ = \dfrac\pi3\)

\(v = 72\ \text{km/h} = 20\ \text{m/s}\)

\(r = \dfrac{\ell}{\Delta\theta} = \dfrac{50\ \text{m}}{\pi/3} = 47{,}7\ \text{m}\)

La forza centripeta è fornita dall’attrito statico, che al massimo vale \(\mu N = \mu mg\):

\(m\,\dfrac{v^2}{r} \le \mu mg \;\Rightarrow\; v \le v_{max} = \sqrt{\mu g r}\)

\(v_{max} = \sqrt{0{,}8 \cdot 9{,}8 \cdot 47{,}7}\ \text{m/s} = 19\ \text{m/s}\)

\(v = 20\ \text{m/s} > v_{max}\): l’automobile non riesce a fare la curva.

Corpi rigidi in moto piano

7Un’asta rigida di lunghezza \(\ell\) ha gli estremi vincolati a scorrere lungo l’asse \(x\) e lungo l’asse \(y\). Dimostra che il centro dell’asta descrive una circonferenza di raggio \(\frac{\ell}{2}\), con la stessa velocità angolare dell’asta.

\(A\left(\ell\sin\theta;\ 0\right)\)

\(B\left(0;\ \ell\cos\theta\right)\)

\(C\left(\tfrac{\ell}{2}\sin\theta;\ \tfrac{\ell}{2}\cos\theta\right)\) punto medio di AB

\(x_C^2 + y_C^2 = \dfrac{\ell^2}{4}\left(\sin^2\theta + \cos^2\theta\right) = \dfrac{\ell^2}{4}\)

Il punto C sta sulla circonferenza di centro O e raggio \(\frac{\ell}{2}\). Il triangolo OBC è isoscele (OC = CB = \(\frac{\ell}{2}\)), quindi l’angolo fra OC e l’asse \(y\) è uguale all’angolo \(\theta\) fra l’asta e l’asse \(y\): quando l’asta ruota di \(\Delta\theta\), anche il raggio OC ruota di \(\Delta\theta\).

\(\omega_C = \dfrac{\Delta\theta}{\Delta t} = \omega_{asta}\)

\(v_C = \omega\,\dfrac{\ell}{2}\)

C descrive una circonferenza di raggio \(\frac{\ell}{2}\) con la velocità angolare \(\omega\) dell’asta.

8Un disco di raggio \(R\) è collegato all’origine O da un’asta lunga \(d\), perpendicolare al disco e passante per il suo centro C. Il disco rotola senza strisciare sul piano \(xy\) con velocità angolare \(\omega\) costante attorno all’asta. Calcola la velocità angolare \(\Omega\) della rotazione attorno all’asse \(z\).

\(\overline{OC} = d\)

\(\overline{CA} = \overline{CB} = R\)

\(O\widehat{C}B = 90^\circ\)

\(\overline{OB}^{\,2} = \overline{OC}^{\,2} + \overline{CB}^{\,2} \;\Rightarrow\; \overline{OB} = \sqrt{d^2 + R^2}\)

Il punto di contatto B descrive sul piano una circonferenza di raggio \(\overline{OB}\). Poiché il disco non striscia, in un giro attorno all’asse \(z\) il bordo del disco «srotola» sul piano una lunghezza uguale a questa circonferenza:

\(2\pi\,\overline{OB} = n \cdot 2\pi R\)

\(\;\Rightarrow\; n = \dfrac{\sqrt{d^2 + R^2}}{R} = \sqrt{\left(\dfrac dR\right)^2 + 1}\)

Mentre il sistema compie un giro attorno a \(z\) (periodo \(T_\Omega\)), il disco compie \(n\) giri attorno all’asta: \(T_\Omega = n\,T_\omega\).

\(\Omega = \dfrac{2\pi}{T_\Omega} = \dfrac{2\pi}{n\,T_\omega} = \dfrac{\omega}{n}\)

\(\Omega = \omega\,\dfrac{R}{\sqrt{d^2 + R^2}}\)

Osservazione. Si ottiene lo stesso risultato imponendo che il punto di contatto B sia fermo: la rotazione attorno a \(z\) gli darebbe la velocità \(\Omega\,\overline{OB}\), la rotazione attorno all’asta la velocità opposta \(\omega R\). Quindi \(\Omega\,\overline{OB} = \omega R\). Qui \(\omega\) è la velocità angolare del disco rispetto all’asta.