La dinamica dei corpi rigidi

Meccanica · cinematica rotazionale, energia di rotazione, momento torcente e momento angolare, con le dimostrazioni

1. Il corpo rigido

Finora abbiamo studiato quasi sempre il moto di un punto materiale, un corpo le cui dimensioni sono trascurabili. Ma una ruota che gira, una porta che si apre, una trottola, la Terra che ruota su se stessa non si possono descrivere come punti: le loro parti si muovono in modo diverso l’una dall’altra.

Corpo rigido Un corpo rigido è un corpo esteso in cui la distanza fra due suoi punti qualsiasi resta costante nel tempo: il corpo non si deforma.

Come il punto materiale, anche il corpo rigido è un modello ideale: tutti i corpi reali si deformano un poco. Ma per una ruota d’acciaio o un sasso il modello funziona benissimo. Il moto più generale di un corpo rigido è la combinazione di una traslazione (tutti i punti si spostano allo stesso modo) e di una rotazione attorno a un asse. In questa lezione studiamo soprattutto le rotazioni attorno a un asse fisso, e scopriremo che per ogni grandezza e ogni legge delle traslazioni esiste una grandezza e una legge corrispondente per le rotazioni.

2. Posizione, velocità e accelerazione angolari

La posizione angolare \(\theta\) è l’angolo fra la semiretta di riferimento e una semiretta solidale con il corpo che ruota.

Posizione angolare La posizione angolare \(\theta\) di un corpo che ruota attorno a un asse è l’angolo misurato rispetto a una semiretta di riferimento. Per convenzione \(\theta > 0\) per rotazioni in verso antiorario, \(\theta < 0\) per rotazioni in verso orario. Nelle formule della dinamica gli angoli si misurano sempre in radianti (\(2\pi\ \mathrm{rad} = 360^\circ\)).

Velocità angolare Se il corpo passa dalla posizione angolare \(\theta_1\), all’istante \(t_1\), alla posizione \(\theta_2\), all’istante \(t_2\), la sua velocità angolare media è \[ \omega_m = \frac{\Delta\theta}{\Delta t} = \frac{\theta_2 - \theta_1}{t_2 - t_1} \] La velocità angolare istantanea si ottiene facendo tendere a zero l’intervallo di tempo: \[ \omega = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\theta}{\Delta t} \] Si misura in \(\mathrm{rad/s}\). È positiva per rotazioni antiorarie, negativa per rotazioni orarie.

Se la velocità angolare è costante, il corpo compie un giro completo (\(2\pi\) radianti) nel tempo detto periodo:

\[ T = \frac{2\pi}{\omega} \qquad\qquad f = \frac1T = \frac{\omega}{2\pi} \]

dove \(f\) è la frequenza, cioè il numero di giri al secondo. Nella tecnica si usano spesso i giri al minuto (rpm): \(1200\ \mathrm{giri/min} = 20\ \mathrm{giri/s}\), cioè \(\omega = 2\pi\cdot 20 \approx 126\ \mathrm{rad/s}\).

Accelerazione angolare Se la velocità angolare passa da \(\omega_1\) a \(\omega_2\) nell’intervallo da \(t_1\) a \(t_2\), l’accelerazione angolare media e quella istantanea sono \[ \alpha_m = \frac{\Delta\omega}{\Delta t} = \frac{\omega_2 - \omega_1}{t_2 - t_1} \qquad\qquad \alpha = \lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \] Si misura in \(\mathrm{rad/s^2}\).

3. La cinematica rotazionale

Le definizioni delle grandezze angolari sono identiche a quelle delle grandezze lineari, con \(\theta\) al posto di \(x\), \(\omega\) al posto di \(v\), \(\alpha\) al posto di \(a\). Ne segue una perfetta corrispondenza fra le leggi del moto.

Moto rettilineo	Moto rotatorio
posizione \(x\)	posizione angolare \(\theta\)
velocità \(v = \lim\limits_{\Delta t\to 0}\dfrac{\Delta x}{\Delta t}\)	velocità angolare \(\omega = \lim\limits_{\Delta t\to 0}\dfrac{\Delta\theta}{\Delta t}\)
accelerazione \(a = \lim\limits_{\Delta t\to 0}\dfrac{\Delta v}{\Delta t}\)	accelerazione angolare \(\alpha = \lim\limits_{\Delta t\to 0}\dfrac{\Delta\omega}{\Delta t}\)
Moto uniformemente accelerato (\(a\) costante) / rotatorio uniformemente accelerato (\(\alpha\) costante)
\(v = v_0 + a\,t\)	\(\omega = \omega_0 + \alpha\,t \qquad (1)\)
\(x = x_0 + v_0\,t + \frac12\,a\,t^2\)	\(\theta = \theta_0 + \omega_0\,t + \frac12\,\alpha\,t^2 \qquad (2)\)
\(v^2 - v_0^2 = 2\,a\,(x - x_0)\)	\(\omega^2 - \omega_0^2 = 2\,\alpha\,(\theta - \theta_0) \qquad (3)\)

Dimostrazione della (1) Se \(\alpha\) è costante, l’accelerazione media coincide con quella istantanea. Fra l’istante \(0\), con velocità \(\omega_0\), e l’istante \(t\), con velocità \(\omega\): \[ \alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t - 0} \quad\Longrightarrow\quad \alpha\,t = \omega - \omega_0 \quad\Longrightarrow\quad \omega = \omega_0 + \alpha\,t \] □

Nel grafico velocità angolare–tempo, lo spostamento angolare \(\Delta\theta\) è l’area sotto la retta: un trapezio, oppure un rettangolo (\(\omega_0 t\)) più un triangolo (\(\frac12\alpha t^2\)).

Dimostrazione della (2) Come per il moto rettilineo (dove lo spostamento è l’area sotto il grafico velocità–tempo), lo spostamento angolare \(\Delta\theta = \theta - \theta_0\) è l’area sotto il grafico di \(\omega\) in funzione di \(t\). È un trapezio di basi \(\omega_0\) e \(\omega\) e altezza \(t\): \[ \Delta\theta = \frac{(\omega + \omega_0)\,t}{2} \] Sostituendo la (1), \(\omega = \omega_0 + \alpha t\): \[ \theta - \theta_0 = \frac{(\omega_0 + \alpha\,t + \omega_0)\,t}{2} = \frac{2\,\omega_0\,t + \alpha\,t^2}{2} \] \[ \theta = \theta_0 + \omega_0\,t + \frac12\,\alpha\,t^2 \] □

Dimostrazione della (3) Dalla (2), \(\Delta\theta = \omega_0 t + \frac12\alpha t^2\). Moltiplichiamo entrambi i membri per \(2\alpha\) e raccogliamo \(\alpha t\): \[ 2\,\alpha\,\Delta\theta = 2\,\alpha\,\omega_0\,t + \alpha^2 t^2 = \alpha\,t\,(2\,\omega_0 + \alpha\,t) \] Per la (1), \(\alpha t = \omega - \omega_0\): \[ 2\,\alpha\,\Delta\theta = (\omega - \omega_0)\,(2\,\omega_0 + \omega - \omega_0) = (\omega - \omega_0)(\omega + \omega_0) = \omega^2 - \omega_0^2 \] □

Esempio: la centrifuga della lavatrice Il cestello parte da fermo e raggiunge \(1200\ \mathrm{giri/min}\), cioè \(\omega = 126\ \mathrm{rad/s}\), in \(10\ \mathrm s\), con accelerazione angolare costante. \[ \alpha = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{126\ \mathrm{rad/s}}{10\ \mathrm s} \approx 12{,}6\ \mathrm{rad/s^2} \] \[ \Delta\theta = \frac12\,\alpha\,t^2 = \frac12\cdot 12{,}6\cdot 10^2\ \mathrm{rad} \approx 630\ \mathrm{rad} \] cioè \(630/2\pi \approx 100\) giri. Con la (3) si ottiene lo stesso risultato: \(\Delta\theta = \omega^2/(2\alpha) = 126^2/25{,}2 \approx 630\ \mathrm{rad}\).

4. Grandezze lineari e grandezze angolari

In un corpo rigido che ruota, tutti i punti hanno la stessa velocità angolare, ma non la stessa velocità lineare: i punti lontani dall’asse percorrono circonferenze più grandi nello stesso tempo, e sono più veloci.

A sinistra il moto circolare uniforme: la velocità \(\vec v\) è tangente, l’accelerazione \(\vec a_c\) è centripeta. A destra il punto accelera: all’accelerazione centripeta si aggiunge quella tangenziale \(\vec a_t\), e l’accelerazione totale \(\vec a\) è la loro somma vettoriale.

Dimostrazione: \(v = \omega r\), \(a_c = \omega^2 r\), \(a_t = r\alpha\)

Un punto P a distanza \(r\) dall’asse percorre in un periodo \(T\) la circonferenza \(2\pi r\), mentre il corpo ruota di \(2\pi\) radianti: \[ v = \frac{2\pi r}{T} \qquad \omega = \frac{2\pi}{T} \quad\Longrightarrow\quad v = \omega\,r \] L’accelerazione centripeta è quindi \[ a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{\omega^2 r^2}{r} = \omega^2\,r \] Se la velocità angolare varia, varia anche il modulo della velocità lineare, e compare un’accelerazione tangente alla traiettoria: \[ a_t = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{r\,\Delta\omega}{\Delta t} = r\,\alpha \]

□

Relazioni fra grandezze lineari e angolari \[ v = \omega\,r \qquad\qquad a_c = \omega^2\,r \qquad\qquad a_t = \alpha\,r \] L’accelerazione tangenziale \(a_t\) è dovuta alla variazione del modulo della velocità; l’accelerazione centripeta \(a_c\) alla variazione della sua direzione. L’accelerazione totale è \(\vec a = \vec a_t + \vec a_c\), con \[ a = \sqrt{a_t^2 + a_c^2} \qquad\qquad \operatorname{tg}\varphi = \frac{a_c}{a_t} \] dove \(\varphi\) è l’angolo fra \(\vec a\) e la direzione tangente.

Esempio Il cestello della centrifuga ha raggio \(25\ \mathrm{cm}\). A \(126\ \mathrm{rad/s}\) un calzino appoggiato alla parete si muove a \(v = 126\cdot 0{,}25 \approx 31\ \mathrm{m/s}\) (più di \(110\ \mathrm{km/h}\)) ed è soggetto a un’accelerazione centripeta \(a_c = 126^2\cdot 0{,}25 \approx 4000\ \mathrm{m/s^2}\), circa 400 volte \(g\): l’acqua viene strappata via dai tessuti.

5. Energia cinetica di rotazione e momento d’inerzia

Un corpo rigido che ruota possiede energia cinetica, anche se il suo centro è fermo: una ruota che gira sul suo asse può sollevare un peso, o essere frenata scaldando i freni. Come calcolarla?

Il corpo rigido è diviso in tante piccole parti. Tutte hanno la stessa velocità angolare \(\omega\), ma velocità \(v_i = \omega r_i\) proporzionali alla loro distanza dall’asse.

Dimostrazione: \(K = \frac12 I\omega^2\) Dividiamo il corpo in \(N\) parti piccolissime, di masse \(m_1, m_2, \dots, m_N\), a distanze \(r_1, r_2, \dots, r_N\) dall’asse di rotazione. Ogni parte si muove di moto circolare con velocità \(v_i = \omega\,r_i\), con la stessa \(\omega\) per tutte. L’energia cinetica del corpo è la somma delle energie cinetiche delle sue parti: \[ \begin{aligned} K &= \frac12\,m_1v_1^2 + \frac12\,m_2v_2^2 + \dots + \frac12\,m_Nv_N^2 \\ &= \frac12\,m_1\omega^2r_1^2 + \frac12\,m_2\omega^2r_2^2 + \dots + \frac12\,m_N\omega^2r_N^2 \\ &= \frac12\,\omega^2\left(m_1r_1^2 + m_2r_2^2 + \dots + m_Nr_N^2\right) \end{aligned} \] La somma fra parentesi dipende solo da come è distribuita la massa attorno all’asse: la chiamiamo momento d’inerzia \(I\), e quindi \(K = \frac12\,I\,\omega^2\). □

Momento d’inerzia ed energia cinetica di rotazione Il momento d’inerzia di un corpo rigido rispetto a un asse è \[ I = \sum_{i=1}^{N} m_i\,r_i^2 \] e si misura in \(\mathrm{kg\cdot m^2}\). L’energia cinetica di rotazione del corpo è \[ K_{rot} = \frac12\,I\,\omega^2 \]

La formula è identica a \(K = \frac12 mv^2\), con \(\omega\) al posto di \(v\) e \(I\) al posto di \(m\). Il momento d’inerzia è l’analogo rotazionale della massa: misura quanto un corpo «resiste» a essere messo in rotazione. Ma, a differenza della massa, non dipende solo da quanta materia c’è, ma da come è distribuita: le parti lontane dall’asse contano molto di più, perché la distanza compare al quadrato. Dipende quindi anche dall’asse scelto.

Corpo rigido (massa \(M\))	Asse	Momento d’inerzia \(I\)
anello sottile (o cilindro cavo) di raggio \(R\)	asse del cilindro	\(M R^2\)
disco o cilindro pieno di raggio \(R\)	asse del cilindro	\(\frac12 M R^2\)
asta sottile di lunghezza \(L\)	perpendicolare all’asta, per il centro	\(\frac1{12} M L^2\)
asta sottile di lunghezza \(L\)	perpendicolare all’asta, per un estremo	\(\frac13 M L^2\)
sfera cava (guscio sottile) di raggio \(R\)	per il centro	\(\frac23 M R^2\)
sfera piena di raggio \(R\)	per il centro	\(\frac25 M R^2\)

Si vede bene il ruolo della distribuzione della massa. In un anello tutta la massa è alla distanza massima \(R\) dall’asse; in un disco pieno molta massa è vicina al centro, e \(I\) è la metà. Una sfera cava ha momento d’inerzia maggiore di una sfera piena della stessa massa e dello stesso raggio.

Esempi

Un’asta di \(2{,}0\ \mathrm{kg}\) lunga \(1{,}0\ \mathrm m\) ha, rispetto al centro, \(I = \frac1{12}\cdot 2{,}0\cdot 1{,}0^2 \approx 0{,}17\ \mathrm{kg\,m^2}\); rispetto a un estremo, \(I = \frac13\cdot 2{,}0\cdot 1{,}0^2 \approx 0{,}67\ \mathrm{kg\,m^2}\), quattro volte di più. Per questo è molto più facile far ruotare un bastone tenendolo nel mezzo.
Un volano d’acciaio a forma di disco, di massa \(50\ \mathrm{kg}\) e raggio \(0{,}30\ \mathrm m\), che gira a \(300\ \mathrm{rad/s}\), immagazzina \(K = \frac12\cdot\left(\frac12\cdot 50\cdot 0{,}30^2\right)\cdot 300^2 \approx 1{,}0\cdot 10^5\ \mathrm J\). I volani si usano per accumulare energia e renderla più regolare, per esempio nei motori.

Approfondimento: il teorema di Huygens-Steiner Se si conosce il momento d’inerzia \(I_{cm}\) di un corpo di massa \(M\) rispetto a un asse passante per il suo centro di massa, il momento d’inerzia rispetto a un asse parallelo a distanza \(d\) è \[ I = I_{cm} + M\,d^2 \] Per l’asta: \(I = \frac1{12}ML^2 + M\left(\frac L2\right)^2 = \frac1{12}ML^2 + \frac14 ML^2 = \frac13 ML^2\), come in tabella. Il momento d’inerzia è sempre minimo rispetto agli assi che passano per il centro di massa.

6. Il moto di rotolamento

Si ha un moto di puro rotolamento quando una sfera, un cilindro o una ruota rotolano senza strisciare su un piano. È il moto delle ruote di un’automobile o di una bicicletta. Si può pensare come la somma di due moti: una rotazione attorno al centro O e una traslazione di tutto il corpo con la velocità del centro.

Il rotolamento come somma di una rotazione attorno al centro e di una traslazione con velocità \(r\omega\). Nel punto di contatto B le due velocità si annullano; nel punto più alto A si sommano.

Perché non ci sia strisciamento, il punto di contatto B deve essere istantaneamente fermo rispetto al piano. Nella rotazione B ha velocità \(r\omega\) verso sinistra; quindi la traslazione deve avere velocità \(r\omega\) verso destra:

\[ v_{centro} = \omega\,r \qquad\text{(condizione di puro rotolamento)} \]

Il punto più alto A, invece, ha velocità \(2\,\omega r\): in una bicicletta che corre a \(20\ \mathrm{km/h}\), la parte alta della ruota va a \(40\ \mathrm{km/h}\) e il punto a contatto con l’asfalto è fermo. Per questo nelle foto delle ruote in movimento i raggi in alto appaiono sfocati e quelli in basso nitidi.

7. La conservazione dell’energia nel rotolamento

Un corpo che rotola trasla e ruota insieme: la sua energia cinetica è la somma di un’energia di traslazione (del centro di massa) e di un’energia di rotazione. Quando si applica la conservazione dell’energia meccanica, bisogna tenere conto di entrambe.

Dimostrazione: l’energia cinetica di un corpo che rotola Un corpo di massa \(m\), raggio \(r\) e momento d’inerzia \(I\) rotola con velocità \(v\) del centro. Per la condizione di rotolamento \(\omega = v/r\): \[ K = K_{tr} + K_{rot} = \frac12\,m\,v^2 + \frac12\,I\,\omega^2 = \frac12\,m\,v^2 + \frac12\,I\,\frac{v^2}{r^2} \] Raccogliendo \(\frac12 mv^2\): \[ K = \frac12\,m\,v^2\left(1 + \frac{I}{m\,r^2}\right) \] □

Il fattore \(1 + \dfrac{I}{mr^2}\) è sempre maggiore di 1: a parità di velocità, un corpo che rotola ha più energia cinetica di uno che scivola, perché una parte dell’energia è «immagazzinata» nella rotazione.

La gara sul piano inclinato

Dimostrazione: la velocità in fondo al piano inclinato Un corpo rigido parte da fermo dal punto A, ad altezza \(h\), e rotola senza strisciare fino al punto B in fondo al piano. Nel puro rotolamento la forza di attrito statico non compie lavoro (agisce sul punto di contatto, che è fermo), quindi l’energia meccanica si conserva: \(E_A = E_B\). \[ m\,g\,h = \frac12\,m\,v^2\left(1 + \frac{I}{m\,r^2}\right) \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{\frac{2\,g\,h}{1 + \frac{I}{m\,r^2}}} \] La massa e il raggio compaiono solo nel rapporto \(I/(mr^2)\), che dipende solo dalla forma del corpo:

anello: \(I = mr^2\), \(v = \sqrt{\dfrac{2gh}{2}} = \sqrt{g\,h}\);
cilindro pieno: \(I = \frac12 mr^2\), \(v = \sqrt{\dfrac{2gh}{3/2}} = \sqrt{\dfrac43\,g\,h}\);
sfera cava: \(I = \frac23 mr^2\), \(v = \sqrt{\dfrac{2gh}{5/3}} = \sqrt{\dfrac65\,g\,h}\);
sfera piena: \(I = \frac25 mr^2\), \(v = \sqrt{\dfrac{2gh}{7/5}} = \sqrt{\dfrac{10}{7}\,g\,h}\).

□

Velocità finali calcolate con le formule della dimostrazione. Il blocco che scivola senza attrito (\(v = \sqrt{2gh}\)) non immagazzina energia di rotazione ed è il più veloce.

Se i corpi partono da fermi dalla stessa altezza, arriva per prima in fondo la sfera piena, poi il cilindro pieno, poi la sfera cava e per ultimo l’anello, qualunque siano le loro masse e i loro raggi. Vince il corpo con il rapporto \(I/(mr^2)\) più piccolo, cioè con la massa più concentrata vicino all’asse: «spreca» meno energia nella rotazione. Su un piano alto \(1{,}0\ \mathrm m\), la sfera piena arriva in fondo a \(\sqrt{\frac{10}{7}\cdot 9{,}8\cdot 1{,}0} \approx 3{,}7\ \mathrm{m/s}\), l’anello a \(\sqrt{9{,}8} \approx 3{,}1\ \mathrm{m/s}\).

8. Il momento di una forza

Per aprire una porta conviene spingere lontano dai cardini e perpendicolarmente alla porta; spingendo vicino ai cardini, o lungo la porta, non si ottiene niente. L’efficacia di una forza nel far ruotare un corpo non dipende solo dalla sua intensità, ma anche da dove e in quale direzione è applicata. Lo misura il momento della forza.

La forza \(\vec F\) è applicata nel punto P, individuato dal vettore \(\vec r\) a partire dal polo O. Il braccio \(b = r\sin\theta\) è la distanza fra O e la retta d’azione della forza.

Momento di una forza (momento torcente) Il momento della forza \(\vec F\), applicata nel punto P individuato dal vettore posizione \(\vec r = \overrightarrow{OP}\), rispetto al polo O, è il prodotto vettoriale \[ \vec\tau = \vec r \wedge \vec F \] (si indica anche con \(\vec M\)). È un vettore con:

modulo \(\tau = r\,F\sin\theta\), dove \(\theta\) è l’angolo fra \(\vec r\) e \(\vec F\);
direzione perpendicolare sia a \(\vec r\) sia a \(\vec F\), cioè al piano che li contiene;
verso dato dalla regola della mano destra: se il pollice è orientato come \(\vec r\) e le altre dita come \(\vec F\), \(\vec\tau\) esce dal palmo della mano.

Si misura in \(\mathrm{N\cdot m}\).

Il modulo si può leggere in due modi equivalenti: \(\tau = r\,(F\sin\theta)\), cioè la distanza per la componente della forza perpendicolare a \(\vec r\); oppure \(\tau = (r\sin\theta)\,F = b\,F\), cioè la forza per il braccio \(b\), distanza del polo dalla retta d’azione. Una forza la cui retta d’azione passa per il polo ha braccio nullo e momento nullo. Nelle figure piane, un momento che fa ruotare in verso antiorario è un vettore uscente dal foglio (simbolo ⊙), uno che fa ruotare in verso orario è entrante (⊗).

Esempio: la chiave inglese Per svitare un bullone si applica una forza di \(80\ \mathrm N\) all’estremità di una chiave lunga \(25\ \mathrm{cm}\). Se la forza è perpendicolare alla chiave, \(\tau = 0{,}25\cdot 80\cdot\sin 90^\circ = 20\ \mathrm{N\cdot m}\). Se forma un angolo di \(30^\circ\) con la chiave, il momento si dimezza: \(\tau = 0{,}25\cdot 80\cdot\sin 30^\circ = 10\ \mathrm{N\cdot m}\). Con una chiave lunga il doppio, basta metà della forza.

Il momento con le componenti cartesiane

Se \(\vec r = x\,\hat\imath + y\,\hat\jmath + z\,\hat k\) e \(\vec F = F_x\,\hat\imath + F_y\,\hat\jmath + F_z\,\hat k\), il prodotto vettoriale si calcola con il determinante (regola di Sarrus):

\[ \vec\tau = \vec r \wedge \vec F = \begin{vmatrix} \hat\imath & \hat\jmath & \hat k \\ x & y & z \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} \]

Sviluppando con la regola di Sarrus (tre prodotti lungo le diagonali principali con il segno più, tre lungo le diagonali secondarie con il segno meno):

\[ \vec\tau = y F_z\,\hat\imath + z F_x\,\hat\jmath + x F_y\,\hat k - y F_x\,\hat k - z F_y\,\hat\imath - x F_z\,\hat\jmath \]

\[ \vec\tau = (y F_z - z F_y)\,\hat\imath + (z F_x - x F_z)\,\hat\jmath + (x F_y - y F_x)\,\hat k \]

Esempio Con \(\vec r = (2{,}0;\ 0;\ 0)\ \mathrm m\) e \(\vec F = (0;\ 3{,}0;\ 0)\ \mathrm N\): \(\vec\tau = (0\cdot 0 - 0\cdot 3;\ 0\cdot 0 - 2\cdot 0;\ 2\cdot 3 - 0\cdot 0) = (0;\ 0;\ 6{,}0)\ \mathrm{N\cdot m}\). Il momento è diretto lungo l’asse \(z\), perpendicolare al piano \(xy\) di \(\vec r\) e \(\vec F\), come prevede la regola della mano destra.

9. L’equilibrio del corpo rigido

Un punto materiale è in equilibrio se la risultante delle forze è nulla. Per un corpo rigido non basta: due forze uguali e opposte applicate agli estremi di un volante non lo spostano, ma lo fanno ruotare.

Condizioni di equilibrio statico di un corpo rigido \[ \begin{cases} \sum \vec F = \vec 0 & \text{equilibrio traslazionale} \\ \sum \vec\tau = \vec 0 & \text{equilibrio rotazionale} \end{cases} \] La risultante delle forze e la risultante dei momenti (rispetto a un polo qualsiasi) devono essere entrambe nulle.

Esempio: l’altalena a bilico Un bambino di \(30\ \mathrm{kg}\) siede a \(2{,}0\ \mathrm m\) dal fulcro; dove deve sedersi, dall’altra parte, un bambino di \(40\ \mathrm{kg}\) perché l’altalena stia in equilibrio? I momenti dei pesi rispetto al fulcro devono essere uguali e opposti: \[ 30\cdot g\cdot 2{,}0 = 40\cdot g\cdot d \quad\Longrightarrow\quad d = \frac{30\cdot 2{,}0}{40} = 1{,}5\ \mathrm m \] È la legge della leva, che si ritrova come caso particolare.

Un corpo appeso in un punto O è in equilibrio se la verticale passante per il suo centro di massa G passa per O: solo così il momento del peso rispetto a O è nullo. L’equilibrio può essere di tre tipi:

Il peso (freccia rossa) è applicato nel centro di massa G. Se il corpo viene spostato di poco, il momento del peso rispetto a O lo riporta indietro (stabile), lo allontana ancora di più (instabile) o è sempre nullo (indifferente).

stabile: G è sotto O; il corpo, allontanato di poco dalla posizione di equilibrio, tende a ritornarci (un quadro appeso, un pendolo);
instabile: G è sopra O; il corpo, allontanato di poco, tende ad allontanarsi ancora di più (una matita in equilibrio sulla punta);
indifferente: G coincide con O; il corpo resta in equilibrio in qualsiasi posizione (una ruota imperniata nel suo centro).

10. La seconda legge della dinamica per le rotazioni

Come una forza produce un’accelerazione, così un momento torcente produce un’accelerazione angolare.

Dimostrazione: \(\tau = I\alpha\) per un punto materiale Un punto materiale di massa \(m\), vincolato a ruotare su una circonferenza di raggio \(r\) attorno a O, è spinto da una forza tangente \(F\). Per il secondo principio, \(F = m\,a\), e l’accelerazione tangenziale è \(a = r\alpha\). Moltiplicando per \(r\): \[ r\,F = m\,r\cdot r\,\alpha \quad\Longrightarrow\quad \tau = m\,r^2\,\alpha = I\,\alpha \] dove \(\tau = rF\) è il momento della forza (perpendicolare al raggio) e \(I = mr^2\) il momento d’inerzia del punto. Per un corpo rigido, sommando su tutte le sue parti, si ottiene lo stesso risultato con \(I = \sum m_ir_i^2\). □

Seconda legge della dinamica per il moto rotatorio \[ \tau = I\,\alpha \] Il momento torcente risultante applicato a un corpo rigido che ruota attorno a un asse fisso è uguale al prodotto del momento d’inerzia per l’accelerazione angolare.

È l’analogo esatto di \(F = ma\): il momento \(\tau\) prende il posto della forza, il momento d’inerzia \(I\) quello della massa, l’accelerazione angolare \(\alpha\) quello dell’accelerazione.

La macchina di Atwood con carrucola

Nella macchina di Atwood (vedi L203-Dinamica) avevamo trascurato la massa della carrucola. Ora possiamo tenerne conto: la carrucola, un disco pieno di massa \(M\) e raggio \(R\), deve essere messa in rotazione, e le tensioni dei due tratti di filo non sono più uguali.

Le tensioni \(T_2\) e \(T_1\) tirano verso l’alto le due masse e, per il terzo principio, verso il basso i due lati della carrucola (frecce tratteggiate). Con \(m_2 > m_1\), \(m_2\) scende e \(m_1\) sale con accelerazione \(a\).

Dimostrazione: l’accelerazione delle masse

Il filo non scivola sulla carrucola, quindi un punto del bordo ha accelerazione tangenziale uguale a quella delle masse: \(a = R\alpha\). Scriviamo le leggi della dinamica per i tre corpi, prendendo come verso positivo quello del moto.

Massa \(m_1\), che sale: \(T_1 - m_1\,g = m_1\,a \qquad (1)\)
Massa \(m_2\), che scende: \(m_2\,g - T_2 = m_2\,a \qquad (3)\)
Carrucola: i momenti delle tensioni rispetto al centro sono \(R\,T_2\) (nel verso del moto) e \(R\,T_1\) (in verso opposto). Con \(\sum\tau = I\alpha\), \(I = \frac12MR^2\) e \(\alpha = a/R\): \[ R\,T_2 - R\,T_1 = \frac12\,M\,R^2\,\frac{a}{R} \quad\Longrightarrow\quad T_2 - T_1 = \frac12\,M\,a \qquad (2) \]

Sommando membro a membro (1), (2) e (3), le tensioni si eliminano: \[ (m_2 - m_1)\,g = a\left(m_1 + m_2 + \frac12\,M\right) \] \[ a = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2 + \frac12 M}\,g \]

□

Se la carrucola ha massa trascurabile (\(M = 0\)) si ritrova la formula di L203-Dinamica. La carrucola si comporta come se aggiungesse al sistema la massa \(\frac12M\): la sua inerzia di rotazione rallenta il moto.

Esempio Con \(m_1 = 0{,}45\ \mathrm{kg}\), \(m_2 = 0{,}55\ \mathrm{kg}\) e una carrucola di \(0{,}20\ \mathrm{kg}\): \[ a = \frac{0{,}10}{1{,}00 + 0{,}10}\cdot 9{,}8\ \mathrm{m/s^2} \approx 0{,}89\ \mathrm{m/s^2} \] invece dei \(0{,}98\ \mathrm{m/s^2}\) che si avrebbero con una carrucola ideale: una differenza del \(9\%\), ben misurabile in laboratorio.

11. Il momento angolare

Nella dinamica delle traslazioni un ruolo fondamentale è giocato dalla quantità di moto \(\vec q = m\vec v\). Nelle rotazioni le corrisponde il momento angolare.

Momento angolare Il momento angolare (o momento della quantità di moto) di un punto materiale di massa \(m\) e velocità \(\vec v\), che si trova nel punto P individuato dal vettore \(\vec r\) rispetto al polo O, è \[ \vec L = \vec r \wedge \vec q = \vec r \wedge m\,\vec v \] Si misura in \(\mathrm{kg\cdot m^2/s}\).

Dimostrazione: \(L = I\omega\) nel moto circolare Per un punto materiale in moto circolare con velocità angolare \(\omega\), rispetto al centro O, il raggio \(\vec r\) e la velocità \(\vec v\) sono perpendicolari (\(\sin 90^\circ = 1\)) e \(v = \omega r\): \[ L = r\,m\,v\sin 90^\circ = r\,m\,\omega\,r = m\,r^2\,\omega = I\,\omega \] □

Si può dimostrare che anche per un corpo esteso che ruota con velocità angolare \(\omega\) attorno a un asse fisso \(z\), la componente del momento angolare lungo l’asse vale \(L_z = I\,\omega\), con \(I\) momento d’inerzia rispetto all’asse.

Momento angolare e momento torcente

Dimostrazione: \(\vec\tau = \dfrac{\Delta\vec L}{\Delta t}\)

All’istante \(t\) il punto materiale ha posizione \(\vec r\) e quantità di moto \(\vec q\); all’istante \(t + \Delta t\) ha posizione \(\vec r + \Delta\vec r\) e quantità di moto \(\vec q + \Delta\vec q\). La variazione del momento angolare è \[ \begin{aligned} \Delta\vec L &= (\vec r + \Delta\vec r) \wedge (\vec q + \Delta\vec q) - \vec r \wedge \vec q \\ &= \vec r \wedge \vec q + \vec r \wedge \Delta\vec q + \Delta\vec r \wedge \vec q + \Delta\vec r \wedge \Delta\vec q - \vec r \wedge \vec q \\ &= \vec r \wedge \Delta\vec q + \Delta\vec r \wedge \vec q + \Delta\vec r \wedge \Delta\vec q \end{aligned} \] Esaminiamo gli ultimi due termini:

se \(\Delta t \to 0\), anche \(\Delta\vec r\) e \(\Delta\vec q\) tendono a zero, e il loro prodotto \(\Delta\vec r \wedge \Delta\vec q\) è trascurabile rispetto agli altri;
\(\Delta\vec r = \vec v\,\Delta t\) è parallelo a \(\vec q = m\vec v\), e il prodotto vettoriale di due vettori paralleli è nullo: \(\Delta\vec r \wedge \vec q = \vec v\,\Delta t \wedge m\vec v = \vec 0\).

Resta \(\Delta\vec L = \vec r \wedge \Delta\vec q\). Per il teorema dell’impulso \(\Delta\vec q = \vec F\,\Delta t\), quindi \[ \Delta\vec L = \vec r \wedge \vec F\,\Delta t = \vec\tau\,\Delta t \quad\Longrightarrow\quad \vec\tau = \frac{\Delta\vec L}{\Delta t} \]

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Seconda legge della dinamica per le rotazioni (forma generale) \[ \vec\tau = \frac{\Delta\vec L}{\Delta t} \] Il momento torcente risultante è uguale alla rapidità con cui varia il momento angolare.

È la forma più generale della seconda legge per il moto rotatorio, analoga a \(\vec F = \Delta\vec q/\Delta t\). Se il momento d’inerzia è costante si ritrova \(\tau = I\alpha\):

\[ \tau = \frac{\Delta L}{\Delta t} = \frac{\Delta(I\omega)}{\Delta t} = \frac{I\,\Delta\omega}{\Delta t} = I\,\alpha \]

Ma la forma \(\vec\tau = \Delta\vec L/\Delta t\) vale anche quando \(I\) cambia, come vedremo nel prossimo paragrafo.

12. La conservazione del momento angolare

Dimostrazione Dalla seconda legge per le rotazioni, \(\vec\tau\,\Delta t = \Delta\vec L = \vec L_f - \vec L_i\). Se il momento torcente esterno risultante è nullo: \[ \vec\tau = \vec 0 \quad\Longrightarrow\quad \vec L_f - \vec L_i = \vec 0 \quad\Longrightarrow\quad \vec L_f = \vec L_i \] □

Principio di conservazione del momento angolare Se il momento torcente esterno risultante agente su un sistema è nullo, il momento angolare del sistema si conserva. Per un corpo che ruota attorno a un asse fisso: \[ I_1\,\omega_1 = I_2\,\omega_2 \] Il momento d’inerzia e la velocità angolare sono inversamente proporzionali.

Esempi

La pattinatrice. Una pattinatrice ruota su se stessa a \(1{,}0\ \mathrm{giro/s}\) con le braccia allargate (\(I_1 = 3{,}5\ \mathrm{kg\,m^2}\)). Stringendo le braccia al corpo riduce il momento d’inerzia a \(I_2 = 1{,}0\ \mathrm{kg\,m^2}\): \(\omega_2 = \omega_1 I_1/I_2 = 3{,}5\ \mathrm{giri/s}\). L’attrito dei pattini sul ghiaccio è piccolissimo, quindi il momento esterno è quasi nullo.
Il tuffatore si raccoglie a palla durante il salto per girare più velocemente e compiere più capriole, poi si distende prima di entrare in acqua per rallentare.
Le stelle di neutroni. Alla fine della sua vita, una stella con un raggio di circa \(700\,000\ \mathrm{km}\), che ruota in \(25\) giorni, può collassare in una stella di neutroni di soli \(10\ \mathrm{km}\) di raggio. Il momento d’inerzia è proporzionale a \(R^2\), quindi \(\omega\) cresce di \((700\,000/10)^2 \approx 5\cdot 10^9\) volte: il periodo diventa \(25\cdot 86\,400\ \mathrm s / 5\cdot 10^9 \approx 0{,}4\ \mathrm{ms}\). Le stelle di neutroni osservate (le pulsar) ruotano davvero in tempi da millisecondi a pochi secondi.

Le forze centrali e la seconda legge di Keplero Se la forza risultante che agisce su un corpo è sempre diretta verso uno stesso punto O, il suo momento rispetto a O è nullo in ogni istante (\(\vec r\) e \(\vec F\) sono paralleli), e quindi il momento angolare del corpo rispetto a O si conserva. Le forze sempre orientate verso uno stesso punto si chiamano forze centrali. È una forza centrale l’attrazione gravitazionale del Sole su un pianeta: la conservazione del momento angolare del pianeta è proprio la seconda legge di Keplero, la legge delle aree (vedi L304-Moto-pianeti).

13. Lavoro e potenza nelle rotazioni

Dimostrazione: \(W = \tau\,\Delta\theta\) Una forza \(F\) tangente al bordo di un corpo che ruota attorno a un asse è applicata a distanza \(r\) dall’asse. Quando il corpo ruota di un angolo \(\Delta\theta\), il punto di applicazione percorre l’arco \(\Delta s = r\,\Delta\theta\) (con l’angolo in radianti). Il lavoro della forza è \[ W = F\,\Delta s = F\,r\,\Delta\theta = \tau\,\Delta\theta \] □

Dimostrazione: il teorema dell’energia cinetica per le rotazioni Se il momento è costante, \(\tau = I\alpha\) e, per la (3) della cinematica rotazionale, \(\Delta\theta = \dfrac{\omega^2 - \omega_0^2}{2\alpha}\). Quindi \[ W = I\,\alpha\cdot\frac{\omega^2 - \omega_0^2}{2\,\alpha} = \frac12\,I\,\omega^2 - \frac12\,I\,\omega_0^2 = \Delta K \] Il lavoro del momento torcente è uguale alla variazione dell’energia cinetica di rotazione. □

La potenza sviluppata da un momento torcente si ottiene dividendo il lavoro per il tempo:

\[ P = \frac{W}{\Delta t} = \frac{\tau\,\Delta\theta}{\Delta t} = \tau\,\omega \]

analoga a \(P = Fv\) delle traslazioni (vedi L204-Energia).

Esempio: il motore di un’automobile Le schede tecniche dei motori indicano la coppia (il momento torcente sull’albero motore) e la potenza. Un motore che a \(3000\ \mathrm{giri/min}\) (\(\omega = 314\ \mathrm{rad/s}\)) fornisce una coppia di \(200\ \mathrm{N\cdot m}\) sviluppa la potenza \[ P = \tau\,\omega = 200\ \mathrm{N\cdot m}\cdot 314\ \mathrm{rad/s} \approx 63\ \mathrm{kW} \approx 85\ \mathrm{CV} \]

14. Riepilogo: traslazioni e rotazioni a confronto

Traslazione	Rotazione attorno a un asse fisso	Legame
posizione \(x\)	posizione angolare \(\theta\)	\(s = r\theta\)
velocità \(v\)	velocità angolare \(\omega\)	\(v = \omega r\)
accelerazione \(a\)	accelerazione angolare \(\alpha\)	\(a_t = \alpha r \quad a_c = \omega^2 r\)
massa \(m\)	momento d’inerzia \(I = \sum m_ir_i^2\)
forza \(\vec F\)	momento torcente \(\vec\tau = \vec r\wedge\vec F\)	\(\tau = rF\sin\theta\)
\(F = ma\)	\(\tau = I\alpha\)
quantità di moto \(\vec q = m\vec v\)	momento angolare \(\vec L = \vec r\wedge m\vec v\), \(L = I\omega\)
\(\vec F = \dfrac{\Delta\vec q}{\Delta t}\)	\(\vec\tau = \dfrac{\Delta\vec L}{\Delta t}\)
se \(\vec F = \vec 0\): \(\vec q\) costante	se \(\vec\tau = \vec 0\): \(\vec L\) costante, \(I_1\omega_1 = I_2\omega_2\)
\(K = \frac12 mv^2\)	\(K = \frac12 I\omega^2\)
\(W = F\,\Delta s\), \(P = Fv\)	\(W = \tau\,\Delta\theta\), \(P = \tau\omega\)

Argomento	Formula
Moto rotatorio uniformemente accelerato	\(\omega = \omega_0 + \alpha t \quad \theta = \theta_0 + \omega_0 t + \frac12\alpha t^2 \quad \omega^2 - \omega_0^2 = 2\alpha\Delta\theta\)
Periodo	\(T = \dfrac{2\pi}{\omega}\)
Rotolamento	\(v = \omega r \qquad K = \frac12 mv^2\left(1 + \dfrac{I}{mr^2}\right)\)
Piano inclinato (rotolamento)	\(v = \sqrt{\dfrac{2gh}{1 + I/(mr^2)}}\)
Equilibrio del corpo rigido	\(\sum\vec F = \vec 0 \qquad \sum\vec\tau = \vec 0\)
Atwood con carrucola	\(a = \dfrac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2 + \frac12 M}\,g\)